我国精英团队取得成功证实国际性数学界60很多年难解关键猜测，中国数学家困扰学界20年难题

卡拉比猜想：从三维到六维的时空隧道

你看过漫威出品、卷福主演的《奇异博士》吗？

一个骄傲的外科神经医生失去了赖以谋生的双手，在机缘巧合之下接触了玄学，竟掌握了穿梭时空技能，最终变成英雄拯救了世界。

电影院里，观众心潮澎湃，被万花筒式的迷幻剧情与特效迷晕了眼。华丽精致的漫威出品，满屏的光怪迷离，都围绕着一个关键词——多维空间。

什么是多维空间？

我们生活在几维空间？

我们能否进入高维空间？

人类失去想象

世界将会怎样

零维是什么？

一个点，假想出来的一个位置，什么也没有，没有长宽高，没有时间，也构不成空间。

一维是什么？

再画一个点，两点连接成线，我们就创造了一个空间，一维空间只有长度，没有宽度和深度。

二维又是什么？

如法炮制，再画一条线，两线相交，即构成了二维，有长度和宽度，没有深度，例如我们可以看到的纸片人、书上的山水、扑克牌面上的小人。

三维呢？此三维非彼三围。

把二维弯曲，我们就得到了三维空间，也是我们最常见也最为熟悉的概念，长宽高三者兼具，我们无时无刻不生活在三维空间里。

那么，四维呢？

“啊——四维，你比三维多一维——”，四维比三维多出来的一维是什么，是时间。过去的你，现在的你，未来的你，中间连接着的是时间的线，这就是四维空间，也就是时空。

四维之外呢？是什么？

是否还存在其他的空间？

20世纪50年代是几何与拓扑学<1>最辉煌的时代，也注定会是传奇的一个时代。

在这个时代，一批年轻的数学家证明了一系列伟大的数学定理，开天辟地，创造了一个崭新的时代，人类开启了几何探索数学领域的新天地。

1954年的国际数学家大会上，小平邦彥（Kodaira）和塞尔（Serre）获得了菲尔兹（Fields）奖<2>，他们的主要获奖成就都是将复分析、微分几何与代数几何完美地结合在一起，“他们的成就远远超越了他年轻时的梦想，他们的成就代表着数学一个新时代的到来”。对数学家们而言无异于饕餮盛宴的大会上，所有人都津津有味地品赏着美味的数学佳肴，而我们的意大利几何学家卡拉比，偏偏走神了。美味的佳肴触发了他的“味蕾”，一道更加精美的菜肴酝酿于他的脑中，急切地想要邀请各方品尝——在封闭的空间中，有无可能存在没有物质分布的引力场？

这就是著名的卡拉比猜想，被写在邀请报告的一张纸上。

年仅31岁的数学家卡拉比提出了大胆猜想——宇宙中有这么一类紧缩的空间结构存在。令M为紧致的卡勒（Kahler）流形<3>，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式R，都存在唯一的一个卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。若解存在，则唯一。

几乎所有的数学家都认为，卡拉比猜想是错的。因为当时还没有足够的数学理论来攻克它，无人能证明这个猜想，因为这个猜想的论证，需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程：

这是与凯勒度量存在性证明相关的积分可微方程，需要考虑φ∑(t)/φt可微的充分条件，方程才会有解ω(t)。但由于t是变量，所以方程保持了他的椭圆性质，对于卡拉比提出的求解ω(t)中t的区间是否无界的问题，即使是20世纪最伟大的数学家之一魏尔教授也爱莫能助，给不出答案。也就是说，包括卡拉比他自己在内，没有人能证实这个猜想。而且卡拉比猜想可以说是单值化定理在高维空间里不可思议的大胆推广，高维复流形复杂的变化竟然能用一般规律进行陈述总结，就好比原本是要经历九九八十一难的西天取经路，唐僧师徒却坐着火箭转眼间就到了，化繁为简，这听起来多么不可思议呀！隐维（hidden dimensions）这个猜想太完美以至于让人不愿意相信它是真实的，只有卡拉比坚信自己的想法。

那么，卡拉比猜想究竟是对的，还是错的呢？

千军万马戎中过

翘首二十载 静待王者归

想象大师卡拉比，一石惊起千层浪。

31岁的卡拉比，在数学大会上提出关于空间的大胆猜想，被所有数学家怀疑其正确性。

彼时的丘成桐，还在世界的另一端——香港，懵懵懂懂，无忧无虑，对数学尚一无所知，每天更多的是被父亲追着背几篇古诗文。谁也不知道，这个小小少年，日后会在数学界大放异彩，在繁复的数学大厦里，坐拥自己的一席之地。

1969年，远赴美国加州大学伯克利分校求学的丘成桐仅有20岁，但他在数学方面的天赋，已初露端倪。几何学家伍鸿熙教授在给另一位几何学家的信中，预言这个20岁的年轻人将会改变微分几何的面貌。也许那时丘成桐身上，沾染数学气息的王者之气，正逐渐显现出来。

在数学界的翘首期盼中，卡拉比猜想等着它真正的王者到来，这一等，就是21年。

求师于陈省身教授的丘成桐，和许多学霸一样，在教室中坚持听讲师讲到最后的人是他，每天泡在图书馆里的也是他，啃着前人留下的智慧面包，沉醉于数学解析之美。丘成桐在这里，遇见了命中注定的卡拉比猜想。

一眼即万年，但也许是命运捉弄，丘成桐与卡拉比猜想的相遇，不是一见倾心，而是情路坎坷的欢喜冤家。

丘成桐一开始固执地认为，卡拉比猜想百分之百是错的，他所宣称的空间也当然是不存在的。为了证明自己的看法，丘成桐废寝忘食，做过大大小小将近五千个实验，历经700多个日日夜夜，个中滋味，我想是痛并快乐着吧。最终他自信满满，找到了一个他认为能够完美反驳卡拉比猜想的例子。在1973年8月斯坦福大学召开的一个会议上，丘成桐将自己的最新研究进展告诉了在场30多位顶级几何学家。兴奋的学者们专门开了个讨论会，会上丘成桐自信满满，神采飞扬地指点江山，使用还原理论并采用反证法，得到了一个分裂理论：每一个里奇曲率<4>等于零的紧凯勒流形，能够被圆环面和具有里奇平坦凯勒度量的单连通流形的度量积所覆盖。而这个理论正是反对卡拉比猜想例子的重要支撑。这场精彩的解说听得在场的数学家们也是连连点头，所有人都认为尘埃落定了，卡拉比猜想被判定为只是数学家的异想天开罢了。

然而，一封穿越大西洋、来自地球另一端的书信，让丘成桐与卡拉比猜想再度陷入一段新的纠缠。

一个多月之后，听闻自己的猜想被否定的卡拉比带着疑惑与求证，致信给丘成桐：我一直在努力重建你的思想，但现在有一些困难，你能仔细为我解答吗？这封来信无异于是一则战帖，于是丘成桐开始重建思想，想要给卡拉比一个满意的答复。然而经历新一轮的推演之后，邱成桐尴尬地发现，自己竟然错了。“每一次发现一个比较接近的例子时，证明总会在最后一分钟崩溃”，在给卡拉比回信前的两个星期，丘成桐没有睡觉，竭力想圆上自己的说法，弥补卡拉比提问的漏洞，结果他发现——没办法弥补！漏洞始终存在！

抱着无言的难堪与窘迫，他只好写信给卡拉比，承认自己错了。但是失败并没有让丘成桐后退，反而是点醒了原本一根筋走到底的他，真理属于勇于反思和反复追寻的人。丘成桐收拾心情，调转思路，开始试图证明卡拉比猜想是对的。

孤独的卡拉比，终于有了一个坚定的盟友，共赴这座巍峨的数学高山。

1975年，丘成桐与一位女物理学家喜结良缘，爱情的甜蜜和滋润给予了年轻数学家喷涌的灵感，丘成桐终于找到了解决卡拉比猜想的方法：他将卡拉比在“典范类为零的凯勒流形”中的积分可微方程进一步明确成一个古老的二次非线性偏微分方程，即蒙日-安培方程：

只要求解出这个方程，就可以完美论证卡拉比方程，但是最大的问题就在于，这个方程相当难解，非常难解，特别难解！其中所使用的大量先验估计，让人眼花缭乱、头晕目眩。

丘成桐为了征服这座数学高山，可谓是稳扎稳打地一步步攀登。首先，找到蒙日-安培方程的等价方程：

然后将他自己发展的梯度估计技术充分应用于这个方程，此时卡拉比猜想已经证明了它的解的唯一性，并且得出了一个结论，当这个方程等式右边非常接近于一个常量时，存在一个光滑解。但当从等价方程重新推导到蒙日-安培方程式，进度又卡死在解方程的计算上。幸好丘成桐精于使用先验估计的方法，得到了C=1的情况下等价方程的解φ的二阶估计和三阶估计，在这个基础上，找到了一个φ解。这证明了卡拉比猜想的凯勒度量是存在的。丘成桐再通过从特殊到一般的方法，最终顺利求解出这个又难又古老的偏微分方程。卡拉比猜想终于得到证实了！这道世界数学难题终于被攻克了！卡拉比猜想，它是对的！

那一年，他27岁，是男儿热血正当时。一夜间，丘成桐声名大噪。

卡拉比猜想的证明让丘成桐一举成名，他的证明被称为“丘定理”，而卡拉比心心念念的全新空间被称为“卡拉比-丘流形”。也就是说，除了我们日常能感知的三维空间和时间外，宇宙中还隐藏着不可见的六维空间，外在的四维空间是它们的表现。

候君双十载，终待王者归。

千军万马戎中过，被质疑的卡拉比猜想，最终迎来了它的王者归来。

最高兴的还有卡拉比，从1954年到1975年，整整21年的梦想终于成为了现实。

吾王归来时

诸逆臣宵小终将俯首

1954年的菲尔兹将获得者塞尔说：“一个真正好的数学猜想，它的解决应该随之而来一系列的推论和绵延不断的影响。”

正如赛尔所言那般，证明了卡拉比猜想，恰是吾王归来时。

数学之王开挂的时代与人生，开启了。

吾王归来，诸逆臣宵小终将俯首——史密斯猜想、爱因斯坦猜想、实蒙日—安培方程狄利克雷问题、闵可夫斯基问题、镜猜想以及稳定性与特殊度量间的对应性等一连串世界数学难题，接连被丘成桐所俘，实乃战绩非凡。

卡拉比猜想的攻克使丘成桐进入学术的黄金时期，成为世界数学界和物理学界一颗耀眼夺目的新星。

1981年，美国数学学会授予丘成桐世界微分几何最高奖维布伦奖；

1982年，丘成桐获得菲尔兹奖，他成为了这项被称为“数学界的诺贝尔奖”的第一位华人获得者；

1997年，丘成桐得到美国总统亲自颁发授予的美国国家科学奖；

2010年，丘成桐获得有数学家终身成就奖之称的沃尔夫数学奖。

丘成桐这一名字，在数学史的丰碑上，熠熠生辉。难怪连《纽约时报》都称赞有加，丘成桐是当之无愧的数学皇帝。

而一切源头的卡拉比猜想，则解决了代数几何中的十多个重要问题，标志着微分几何一个新时代的到来，甚至成为现代物理学家解释宇宙本质的弦理论的基石。

弦理论（theory of string）认为，自然界的基本粒子和基本作用力是极小微小的“弦”振动的结果，人类生活在有十维空间的宇宙中，但日常生活中只能感知四维空间，另外六维空间则以奇妙结构卷藏在宇宙中，这个结构就是被丘成桐证明的“卡拉比-丘流形”。

超弦学家们认为，这神秘的六维空间，在我们看不到的尺度里主宰着我们大千世界的千变万化，而这蜷缩的高维空间“卡-丘”空间究竟是何模样呢？

“卡-丘”空间的大小如何？它的半径小于亿亿亿亿分之一米，只有质子和中子半径的亿万分之一！太小了！我们是无法用任何办法来考察到的，只能用想象来模拟。

想象你随手攥成团的草稿纸，形状迂回扭曲，再拧巴抽象一点，就是个简约版的卡丘空间。而如果真正身处卡丘空间，实际情况可比这小纸团复杂上1000000倍，是一场更加刺激的视觉、感觉盛宴，就像一间全部布满镜面的屋子，一片镜面就是一个空间，一个六维空间就是一个小宇宙。你站在这片从未有人踏足的虚无之地，注视着前方却看到了无数个自己的后脑勺，往前扔的球却咕噜一声落到了自己头顶，倏以为小球只是径直朝你砸过来，其实它经历的冒险路线可能比地心历险记还刺激，就是这么魔幻。

有人说，我能想到最浪漫的事，就是和你一起在“卡-丘”空间里天荒地老。

穿越那一场几何时空隧道，从普通三维到奇妙六维，我的世界，哪里都是你。