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高等数学、线性代数、概率论与数理统计、几何学这些知识可以用来干什么？主要应用有哪些？

@谢漠烟：

其他三项，不研究少数工科确实没用，但概率统计真乃应用数学之王。鄙人学业从数学院开始，以经济学院结束，现在在证券公司做苦逼行业研究，深有体会。

概率统计抛开了数学中的「确定性」，以「不确定性」的视角看待世界，并且做出了「量化不确定性」的壮志，这种气魄，真的不是其他数学分支能够比拟的。

大多数数学分支，比如数学分析（对不起，高等数学这么业余的词我实在不习惯），都是站在高峰看人类，是上帝的视角，研究出美轮美奂的数学公理框架。

但是概率统计，真正贴合日常生活中人类的感知。

在社会中，并不存在「给你一个因为，你还给我一个所以」的确定性。一切社会规律，都需要概率统计来挖掘！所以，绝大多数社会科学最终都会通过概率统计走向量化，这也是现在「经济学帝国主义」泛滥的原因——毕竟经济学是数学渗透最狠的社会科学了。

举几个例子。

1. 经济学

经济学中，被称为恐怕是经济学最准确的定理是恩格尔系数：随着收入的提高，食物消费比重下降。这个如果没有概率统计的挖掘，仅仅凭眼睛去看是无效的。

因为恩格尔系数定理，如果翻译成数学语言：其实是「当收入提高时，在 90%的情况下，食物消费比重有所下降」。只有明白了这一点，才能够有力驳斥对恩格尔系数的质疑——毕竟你总能找到增加了一点收入就去吃一顿大餐的反例。

2. 游戏营销

游戏营销中有一个很有用的指标，叫做 ARPU 值。即平均每用户收入，一个游戏 1 千万用户，每个月收入 5 千万，那么月 ARPU 就是 5 元。

学了概率统计的人，就应该很敏感地意识到，5 元的 ARPU 值，不是每多一个用户，就多 5 块钱的收入。5 元只是期望（均值），但是期望仅仅是数据分布中的一个重要指标而已，即使加上方差，也不能反映全部。

所以，5 元的 ARPU 值游戏，和另一个 5 元 ARPU 值游戏，是本质上不一样的！

这一点，突出反映在中国和海外的手机游戏的区别。

一旦用概率统计分析海内外游戏的差别，就会发现，同样 ARPU 值为 5 的手机游戏，中国游戏方差极大，而海外游戏方差小很多。

所以继续深挖，采用另一个统计指标 ARPPU，平均每付费用户收入。（上述游戏，如果有 100 万付费用户，ARPPU 为 50）

这个时候，你就能发现，同样是 ARPU 为 5 元的游戏，国内 ARPP可能是 100，而海外的是 30。

那么你需要做什么呢？这个时候经营过的人就能想出，面对海外市场，你应该扩大流量，让游戏好玩。面对国内市场，你要伺候好土豪，比如分级客服（交钱最多的 VIP1，其次的 VIP2，等等），比如弄几个人和金主土豪陪玩坑钱，等等等等。

而现在国内手游市场，就是这样做的。

3. 考试

用概率统计的思路，你就知道考试是由三方面决定的。一、水平（期望）；二、稳定性（方差），以上两点决定了你分数的概率分布；三、运气（最后落在哪一个样本上）。

你能控制的只有前两项。

所以面对比较有希望的考试，或者高考这样考在每个分数都有用的考试，你应该做的是增加期望，减小方差两方面努力，就是努力做题目（提高期望），做题目做得面面俱到（减小方差）。

面对如数学竞赛这样考不上一等奖啥用都没有的考试，而你水平恰恰又差一个档次，希望相对较小，这时你要做的呢，就是努力做题目（提高期望），把最重要最可能考的类型钻研到很深，不太可能考的就算了（增加方差）。

@西贝心合：

大家从各个方面解释了这几课的功用，那我就从工程（机械工程）的角度来说明一下吧 。

第一，高等数学，这门课通用性之广可能是你所想不到的，举个例子（因为我是机电专业，故而例子大部分是机电设计）：

PID 控制器，P 是比例，I 是积分，D 是微分，PID 控制器可以模拟电路，也可以是数字系统来模拟的电路，例如用单片机来模拟，但无论哪种方法，都涉及系统的参数设定，顾名思义，PID 需要比例参数，积分参数，微分参数，这三者的确定以及之后的运算，均是在高等数学的基础上的。

液压伺服阀，对于液压方面的计算，其实原理应用均为「流体力学」，对于流体力学，你们日后大概会接触到，通用公式，基本上都是需要高数基础来推导的。详情请去图书馆借阅《液体力学》 。

第二，线性代数，这门课，说实话，更是牛 B，我想你在高中时代肯定学过坐标系的转换，例如坐标平移，极坐标转换等等。那你现在想一个问题，给你一个两关节机械手，你如何控制这个机械手的运动问题，我如何控制各个伺服电机来决定这些机械的运动位置与力的大小呢？这些问题在《机器人运动学》与《机器人动力学》中有详细的探讨，如果让我告诉你，它们运用到的知识，可以这么说，用的是「矩阵」，我想通过线代的学习，你应该对它不会陌生，对矩阵的运算，如求逆阵啦，伴随阵啦，都需要。这只是在我了解的领域内知道的线代应用。

第三，概率与统计，我想这个不用我多说了，古典概率不必多讲，生活中用到它的情况比比皆是，还有一些实例，我想在课本上应该有所涉及，如医学上，用概率论来判断一种新型药物是否有效。统计呢，这个……以后你到公司里，不能一涉及账单就找财务吧，那财务还不忙死……还有很多问题账务也处理不了，因为如果涉及工业工程，学经济的财务还真不一定懂，你可以看一下《工程经济学》，这里面有很多统计方面的应用。

第四，几何学，对于一些经典的几何模型，其实我们每天都在用到，例如求圆周长，面积，求一些标准体的体积等等，只不过我们把这些知识划归了常识。而现代文明仅仅是这些基本的几何知识是远远不够的，所以我们要用很多高等数学的知识来解决一些几何问题，例如几何学中的一个重要的分支——解析几何，工程中常用的 Pro/E 三维软件，只要你构建了一个几何体，无论它有多么的不规则，只需要点一下求体积的按键，它就能给你算出来，如何实现呢？电脑运算快，但不智能，所以算法要你来写，用程序写出来，这些算法，其实就是高等数学中的解析几何啦，当然，不会那么简单，其中定然还要用到一些更高深的数学，例如一些有限元的算法之类的。（没有深入了解过 Pro/E 中的求体积算法，如若有误还请见谅）

如@陈然所说，这些课的学习能让你用一种区别于普通人的眼光来审视这个世界，你会惊奇地发现，这个世界其实是由数学构成的。（学美术的会认为世界是由颜色构成的，学文学的会认为世界是由思想汇聚的，学经济的会认识世界是由货币铸成的。）你可以更抽象地去认识这个世界，了解它的前因后果。 陈然的答案很棒，我也很赞同，不过我想，还是补充一些关于现实生活中能看到的「活生生」的例子比较好。

我在此作出这个解答的原因，也是希望大家知道，这些东西并不是所谓的一无所用，它们功用之大，超乎我们的想象，如果没有高等数学，你连一台普通机床都做不出来，更不必说什么数控系统了。

其实随着学习的深入你会发现，其实就你们学的这点儿高等数学，都不够用，如果你以后要自己做工程，肯定还要补习一些拉氏变换，傅氏变换，Z 变换，更有甚者要学一些专门领域才用得到的「专业」的数学，如《数值分析》，系统变式等，不过那时候，我想，你已经深入地了解到数学的意义了。

我曾经也迷惑过，但没有人给我解答过，但庆幸，我没有放下数学，物理，化学，现如今，才真切地发现这些学问之美，希望我的答案，对你有所帮助。

本文由超级数学建模编辑整理

资料来源于知乎周刊

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